Co je poměr?

Poměr používáme, když chceme porovnat dvě nebo více veličin.

Poměr dvou čísel a a b zapisujeme:

a : bčteme "á ku bé"

Číslo před dvojtečkou je první člen poměru, číslo za dvojtečkou je druhý člen poměru.

Příklad:
Ve třídě je 10 dívek a 5 chlapců.

dívky : chlapci = 10 : 5 = 2 : 1

To znamená, že na 2 dívky připadá 1 chlapec.

Na pořadí záleží!

Poměr dívky : chlapci není totéž jako poměr chlapci : dívky.

dívky : chlapci = 10 : 5 = 2 : 1
chlapci : dívky = 5 : 10 = 1 : 2

Vždy si proto nejprve přečti, co porovnáváš s čím.

Převrácený poměr

Převrácený poměr získáme vzájemnou záměnou členů.

3 : 5 → 5 : 3

K čemu je převrácený poměr?

Protože někdy porovnáváme stejné veličiny v opačném pořadí.

Máme 10 dívek a 5 chlapců:

dívky : chlapci = 10 : 5 = 2 : 1
→ na 2 dívky připadá 1 chlapec

chlapci : dívky = 5 : 10 = 1 : 2
→ na 1 chlapce připadají 2 dívky

💡 Změníme-li pořadí toho, co porovnáváme, dostaneme převrácený poměr.

Porovnáváme vždy stejné jednotky 

Postupný poměr

Poměr nemusí mít pouze dva členy. Pokud porovnáváme tři nebo více veličin, používáme postupný poměr.

Například máme 3 červené, 5 modrých a 2 zelené fixy.

červené : modré : zelené = 3 : 5 : 2

Jaký je poměr zelených : červených : modrých?

2 : 3 : 5

➡️ I u postupného poměru tedy záleží na pořadí.

Krácení a rozšiřování poměru

Máme sirup a vodu v poměru:

1 : 7

Když množství zdvojnásobíme:

2 : 14

A ještě jednou:

3 : 21
4 : 28

Ve všech případech bude nápoj chutnat stejně.

1 : 7 = 2 : 14 = 3 : 21 = 4 : 28

Poměry vypadají jinak, ale vyjadřují stejný vztah. 

Rozšiřování poměru

Poměr rozšiřujeme tak, že všechny jeho členy vynásobíme stejným číslem různým od nuly.

Například rozšiř poměr 2 : 3 čtyřmi:

2 : 3 = (2 · 4) : (3 · 4) = 8 : 12

Hodnota poměru se nezměnila.

Př.: Rozšiř poměr 3 : 5

• dvěma → 6 : 10
• třemi → 9 : 15
• deseti → 30 : 50

Krácení poměru

Poměr krátíme tak, že všechny jeho členy vydělíme stejným číslem různým od nuly.

Například:    12 : 18

Obě čísla můžeme vydělit 6:

12 : 18 = (12 : 6) : (18 : 6) = 2 : 3

Opět platí:

12 : 18 = 2 : 3

Poměr v základním tvaru

Poměr je v základním tvaru, pokud už jeho členy nemůžeme společně krátit.

Například:      18 : 24

Obě čísla vydělíme 6:

18 : 24 = 3 : 4

Poměr 3 : 4 už dále krátit nelze.

✅ 3 : 4 je základní tvar poměru.

💡 Přemýšlej stejně jako u zlomků.
Hledáme číslo, kterým můžeme vydělit všechny členy poměru. 

Co když jsou v poměru desetinná čísla nebo zlomky?

Desetinná čísla

Nejprve poměr rozšíříme tak, abychom se desetinných čísel zbavili.

0,4 : 1,2

Rozšíříme 10:

4 : 12 = 1 : 3

Zlomky

Také u zlomků se nejprve snažíme získat přirozená čísla.

1/2 : 3/4

Oba členy vynásobíme 4:

(1/2 * 4/1) : (3/4 * 4/1) = 4/2 : 12/4 = 2 : 3

💡 Cíl je stejný: dostat poměr do co nejjednoduššího tvaru s přirozenými čísly. 

Změna čísla v daném poměru

Poměr nemusíme používat jen k porovnávání dvou veličin. Pomocí poměru můžeme také nějakou hodnotu zvětšit nebo zmenšit.

Představ si, že máš recept pro 2 osoby, ale potřebuješ ho připravit pro 3. Všechny suroviny musíš změnit ve stejném poměru 3 : 2. Stejným způsobem můžeme měnit délky, množství, ceny nebo třeba rozměry obrázku.

Při změně čísla v poměru a : b  

» původní hodnota » b dílů

» nová hodnota » a dílů 

Jak změnit číslo v daném poměru?

» Číslo můžeme změnit dvěma způsoby. Vyber si ten, který ti více vyhovuje.

1. postup – rozdělím na díly

• Chceme změnit číslo 36 v poměru 3 : 2.
• Původní číslo vydělíme druhým členem poměru a výsledek vynásobíme prvním členem:

• → 36 změněné v poměru 3 : 2 je 54.

Pamatuj:
DĚLÍM DRUHÝM → NÁSOBÍM PRVNÍM

2. postup – pomocí zlomku

• Poměr 3 : 2 můžeme zapsat jako zlomek:  3/2

• Původní číslo tímto zlomkem vynásobíme:
• 36 ⋅ 3/2 = 36/1 ⋅ 3/2 = 108/2 = 54
• → 36 změněné v poměru 3 : 2 je 54.

»  Oba postupy znamenají totéž a vedou ke stejnému výsledku. Použij ten, který ti více vyhovuje.  «

💡 Než začneš počítat… 

Vždy se nejprve podívej na poměr a zkus odhadnout, co se s číslem stane.

3 : 2 → číslo se zvětší ↑

4 : 5 → číslo se zmenší ↓

7 : 7 → číslo zůstane stejné =

Díky tomu můžeš snadno odhalit chybu ve výpočtu. Pokud například měníš číslo v poměru 2 : 3 a vyjde ti větší číslo než na začátku, něco je špatně.

⚠️ Pozor na pořadí!

Poměry 3 : 2 a 2 : 3 nejsou stejné.

Změníme-li číslo 36 v poměru 3 : 2:

» 36 : 2 · 3 = 54

Číslo jsme zvětšili.

Změníme-li stejné číslo 36 v poměru 2 : 3:

» 36 : 3 · 2 = 24

Číslo jsme zmenšili.

» Na pořadí členů poměru záleží! «

Příklady:

1. Znám vzdálenost na mapě → hledám skutečnou vzdálenost

• Měřítko mapy je 1 : 50 000.
• 1 cm → 50 000 cm
• 4 cm → 200 000 cm = 2 km
• » Skutečná vzdálenost je 2 km. «

2. Znám skutečnou vzdálenost → hledám vzdálenost na mapě

• Skutečná vzdálenost je 600 m, měřítko 1 : 20 000.
• Nejprve převedeme na stejné jednotky:
• 600 m = 60 000 cm
• 60 000 : 20 000 = 3 cm
• » Na mapě bude vzdálenost 3 cm. «

3. Znám obě vzdálenosti → hledám měřítko

• Na mapě naměříme 5 cm, ve skutečnosti je vzdálenost 2 km.
• Nejprve převedeme na stejné jednotky:
• 2 km = 200 000 cm
• 5 : 200 000 = 1 : 40 000
• » Měřítko mapy je 1 : 40 000. «

⚠️ Pozor na jednotky!

• Při práci s měřítkem musí být obě délky ve stejných jednotkách.
• 1 m = 100 cm
• 1 km = 1 000 m = 100 000 cm

Jak rozdělíme celek v daném poměru?

Chceme-li rozdělit celek v daném poměru, postupujeme následovně:

1. Sečteme členy poměru → zjistíme počet celkových dílů.

2. Celek vydělíme počtem dílů → zjistíme hodnotu jednoho dílu.

3. Hodnotu jednoho dílu násobíme jednotlivými členy poměru.

Kontrola: Součet vypočítaných částí se musí rovnat původnímu celku.

Příklad 1

» Rozděl 1 000 Kč v poměru 3 : 2.

» Výsledek: 600 Kč a 400 Kč. «

Příklad 2

Stejným způsobem můžeme rozdělovat celek i na více než dvě části.

Rozděl 900 Kč mezi tři děti v poměru 2 : 3 : 4.

• Počet dílů:   2 + 3 + 4 = 9
• Hodnota jednoho dílu:   900 : 9 = 100 Kč
• Jednotlivé části:
• 2 · 100 = 200 Kč
• 3 · 100 = 300 Kč
• 4 · 100 = 400 Kč
• Kontrola:  200 + 300 + 400 = 900 Kč ✓

» Výsledek: 200 Kč, 300 Kč a 400 Kč. «

Příklad 3

Poměrem nemusíme dělit jen peníze

Provázek dlouhý 72 cm rozděl v poměru 5 : 3.

• Počet dílů:   5 + 3 = 8
• Hodnota jednoho dílu:   72 : 8 = 9 cm

» Výsledek: 45 cm a 27 cm. «